Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nördberg präsentiert.

Meine Damen und Herren, herzlich willkommen.

Wir hatten uns beim letzten Mal die Zustandsform angeschaut.

Da hatten wir ein uniares System.

Da oben diese allgemeine Form.

Die Endung der Zustandsgrößen ist gleich a mal x plus b mal u.

Im allgemeinen Fall, so weit a und b halt im schlimmsten Fall selber zeitabhängig sein können.

Für ein zeitvariantes System, für ein zeitunvariantes System sind a und b konstant.

Diese Systematrizen sind konstant drin.

Man kann dann diese Eingangsmatrix, das b, mit den kleinen u, mit den Eingängen direkt zusammenpacken zu einem kleinen b

und kriegt dann etwas kompakterer der Asche a mal x plus b.

Ist halt gleich x-treffig.

Zu dieser Differenzal-Gleichung, jetzt erster Ort, kommen noch Anfangsbedingungen.

Das heißt, ich muss natürlich den Anfangswert der Zustände x0 kennen zu einem Zeitpunkt t0.

Und wenn es ein lineares Zeitinvariantes System ist, kann ich auch das t0 eigentlich ohne Probleme auf 0 setzen.

Also t0 ist gleich 0.

Im allgemeinen Fall ist das an irgendeinem Zeitpunkt.

Wir hatten uns am letzten Mal auch dann angeschaut, wie man aus der Differenzal-Gleichung zweiter Ordnung,

also der normalen Bewegungsdifferenzial-Gleichung, m y2 gepunktet plus dy Punkt plus k mal y ist gleich rechte Seite f.

Danke schön, dass man diese Zustandsform herbringt, indem ich sage,

ich habe für ein rein mechanisches System ohne irgendwelche exotischen Effekte zwei Zustandsgrößen,

nämlich die Lagekoordinaten hier für das System.

Ich mache das mal hier ein bisschen weiter weg, damit ihr es besser sehen könnt da hinten.

Also ich habe hier zwei Freiheitsgrade.

Um die Position eindeutig festlegen zu können, brauche ich halt hier die Lage.

Mein Finger durch die zwei Winkel gegeben.

Aber das beschreibt natürlich nicht eindeutig den Zustand des Systems.

Ich muss zusätzlich die Geschwindigkeiten kennen.

Denn es kann natürlich sein, wenn ich das hier schwingen lasse, gehe ich durch irgendeinen Punkt hier durch,

entweder auf den Weg nach links oder auf den Weg nach rechts.

Das sind zwei verschiedene Zustände, sodass ich zusätzlich noch das y Punkt,

also die Geschwindigkeit mitnehmen muss als weitere Zustandsgröße.

Die nächste Ableitung y2 gepunktet, die Beschleunigung selber, ist keine Zustandsgröße mehr,

denn die ist ja durch die Differenzial-Gleichung, durch die Bewegungsdifferenzial-Gleichung gegeben.

Denn ich kann ja y2 gepunktet ausrechnen, als, wenn ich das umforme, genau der untere Teil dieser Zustandsgleichung,

m hoch minus eins mit dem Minuszeichen mal k, y minus m hoch minus eins d mal y Punkt plus m hoch minus eins f.

Das heißt, wenn ich y und y Punkt kenne, kann ich das y2 gepunktet ausrechnen.

Das heißt, das ist keine unabhängige Größe mehr.

Die hängt also von y und y Punkt und den äußeren Lasten und natürlich dem System selber ab.

Und das ist auch gerade sozusagen der Inhalt der Zustandsgleichung dort für das lineare System.

Die untere Zeile ist einfach bloß die Bewegungsdifferenzial-Gleichung umgestellt nach y2 gepunktet.

Und um jetzt das sozusagen auf ein gleichförmiges System, das ich sozusagen x und x Punkt habe,

das ich x als y und y Punkt habe, ist das x Punkt halt y Punkt und y2 gepunktet.

Also jeweils eine Zeitableitung mehr.

Dann muss ich sozusagen das ergänzen.

Und die Ergänzung ist einfach die Identität, dass ich sage y Punkt als Ableitung.

Also dieses y Punkt, das ist sozusagen die Ableitung von dem y, weil das ja aus dem x Punkt entsteht,

muss aber natürlich das gleiche sein wie dieses y Punkt hier.

Und das steht hier in der oberen Zeile mit der Einheitsmatrix I.

Das heißt, bloß y Punkt ist gleich y Punkt.